Слегка дополнена лекция 1 по теории вероятностей

2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md

@@ -58,7 +58,11 @@
 >**Измеримое пространство** - пара ($\Omega, \mathcal{F}$), состоящая из множества $\Omega$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$. 
 ## Вероятность
 
->**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - числовая функция $\text{P} : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющих условиям
+>**Мера** - числовая функция $\mu = \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям
+>	1) $\mu(\varnothing) = 0$
+>	2) $\mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$, где $\{A_i\} \subset \mathcal{F} : \forall i,j \ (i \neq j) \ A_i \bigcap A_j = \varnothing$
+
+>**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - мера $\text{P} : \mathcal{F} \to [0;1]$, удовлетворяющих условиям
 >	P1) $\text{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}$
 >	P2) $\text{P}(\Omega) = 1$
 >	P3) $\text{P}(A+B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) \quad \forall A, B \in \mathcal{F}, \ AB = \varnothing$
@@ -69,13 +73,13 @@
 
 Пусть ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) - вероятностное пространство.
 1. $\varnothing + \varnothing = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\varnothing) + \text{P}(\varnothing) = \text{P}(\varnothing) \implies \text{P}(\varnothing) = 0$
-2. $A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies$ $\implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$
+2. $A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$
 3. $A \subset B \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A) \implies_\text{из условия P1)} \ \text{P}(A) \leq \text{P}(B)$
 4. $\forall A \in \mathcal{F}, \quad \text{P}(\varnothing) = 0, \quad \text{P}(\Omega) = 1, \quad \varnothing \subset A \subset \Omega \implies 0 \leq \text{P}(A) \leq 1$
 5. $\forall A, \quad A + \overline{A} = \Omega, \quad A\overline{A} = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)$
 6. $A_i A_j = \varnothing \ \forall i \neq j \implies \text{P}(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} \text{P}(A_i)$ (конечная аддитивность, доказывается индукцией по n с использованием условия P3) )
-7. $\forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,$ $(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies$ $\implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies$ $\implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$
-8. $\forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies$ $\implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$
+7. $\forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$
+8. $\forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$
 9. $A_n \nearrow A \ \text{или} \ A_n \searrow A \implies \lim\limits_{n} \text{P}(A_n) = \text{P}\left( \lim\limits_{n} A_n \right)$
 
 Таким образом, получаем 9 свойств вероятностного пространства: