From 686ac88f09db6cf669aa8b96c9d478b0f404c2c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: LeterZP Date: Fri, 18 Sep 2026 13:34:43 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=D0=A1=D0=BB=D0=B5=D0=B3=D0=BA=D0=B0=20=D0=B4?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=BF=D0=BE=D0=BB=D0=BD=D0=B5=D0=BD=D0=B0=20=D0=BB=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=201=20=D0=BF=D0=BE=20=D1=82=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D1=80=D0=B8=D0=B8=20=D0=B2=D0=B5=D1=80=D0=BE=D1=8F=D1=82?= =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D0=B5=D0=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md | 12 ++++++++---- 1 file changed, 8 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md b/2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md index caddfeb..c7f5574 100644 --- a/2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md +++ b/2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md @@ -58,7 +58,11 @@ >**Измеримое пространство** - пара ($\Omega, \mathcal{F}$), состоящая из множества $\Omega$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$. ## Вероятность ->**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - числовая функция $\text{P} : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющих условиям +>**Мера** - числовая функция $\mu = \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям +> 1) $\mu(\varnothing) = 0$ +> 2) $\mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$, где $\{A_i\} \subset \mathcal{F} : \forall i,j \ (i \neq j) \ A_i \bigcap A_j = \varnothing$ + +>**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - мера $\text{P} : \mathcal{F} \to [0;1]$, удовлетворяющих условиям > P1) $\text{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}$ > P2) $\text{P}(\Omega) = 1$ > P3) $\text{P}(A+B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) \quad \forall A, B \in \mathcal{F}, \ AB = \varnothing$ @@ -69,13 +73,13 @@ Пусть ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) - вероятностное пространство. 1. $\varnothing + \varnothing = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\varnothing) + \text{P}(\varnothing) = \text{P}(\varnothing) \implies \text{P}(\varnothing) = 0$ -2. $A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies$ $\implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$ +2. $A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$ 3. $A \subset B \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A) \implies_\text{из условия P1)} \ \text{P}(A) \leq \text{P}(B)$ 4. $\forall A \in \mathcal{F}, \quad \text{P}(\varnothing) = 0, \quad \text{P}(\Omega) = 1, \quad \varnothing \subset A \subset \Omega \implies 0 \leq \text{P}(A) \leq 1$ 5. $\forall A, \quad A + \overline{A} = \Omega, \quad A\overline{A} = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)$ 6. $A_i A_j = \varnothing \ \forall i \neq j \implies \text{P}(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} \text{P}(A_i)$ (конечная аддитивность, доказывается индукцией по n с использованием условия P3) ) -7. $\forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,$ $(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies$ $\implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies$ $\implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$ -8. $\forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies$ $\implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$ +7. $\forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$ +8. $\forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$ 9. $A_n \nearrow A \ \text{или} \ A_n \searrow A \implies \lim\limits_{n} \text{P}(A_n) = \text{P}\left( \lim\limits_{n} A_n \right)$ Таким образом, получаем 9 свойств вероятностного пространства: