LeterZP
119 lines
17 KiB
Markdown
119 lines
17 KiB
Markdown
## Содержание
|
||
- [Случайные события. Статическая вероятность](#Случайные%20события.%20Статическая%20вероятность)
|
||
- [События](#События)
|
||
- [Вероятность](#Вероятность)
|
||
- [Дискретное вероятностное пространство](#Дискретное%20вероятностное%20пространство)
|
||
- [Геометрические вероятности](#Геометрические%20вероятности)
|
||
|
||
## Случайные события. Статическая вероятность
|
||
|
||
Рассмотрим некоторый опыт, в результате которого может наступить или не наступить событие A.
|
||
|
||
>**Испытания** - такие опыты, которые можно в данных условиях в принципе реализовать какое угодно количество раз.
|
||
|
||
>**Частота** (события A в n испытаниях) - отношение числа n(A) наступлений события A в этих испытаниях к числу испытаний n. $$ p_n(A) = \frac{n(A)}{n} .$$
|
||
|
||
>**Вероятность** (события A) - число, являющееся мерой возможности наступления события A. $$ \text{P}(A) = \lim_{n \to \infty} p_n(A) $$
|
||
|
||
>**Статическая вероятность** - вероятность события, найденная на основе испытаний.
|
||
|
||
Определение вероятности является математической идеализацией реальных событий, ведь в реальности можно реализовать только конечное количество испытаний, а требование полного совпадения начальных условий выполнено лишь с некоторым приближением.
|
||
## События
|
||
|
||
>**Случайное событие** (в реальности) - исход какого-либо испытания, наблюдения, который может произойти или не произойти. В математической модели понятие случайного события является первоначальным, не имеет определения и характеризуется лишь своими свойствами.
|
||
|
||
>**Достоверное событие** ($\Omega$) - событие, которое всегда происходит.
|
||
|
||
>**Невозможное событие** ($\varnothing$) - событие, которое никогда не происходит.
|
||
|
||
>**Произведение событий** (A и B) - событие AB ($A \cap B$), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и A и B вместе.
|
||
|
||
>**Несовместимые события** (A и B) - cобытия, произведение которых - невозможное событие (AB = $\varnothing$).
|
||
|
||
>**Сумма** (событий A и B) - событие A + B ($A \cup B$), состоящее в том, что произошло по крайней мере одно из событий A или B.
|
||
|
||
>**Разность** (событий A и B) - событие A - B (A \ B), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.
|
||
|
||
>**Противоположное событие** (события A) - событие $\overline{A}$, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит A. $$ \overline{A} = \Omega - A$$
|
||
|
||
>Событие A **влечёт** событие B, если $A \subset B$.
|
||
|
||
>**Равносильные события** (A и B) - события A = B, для которых верно $A \subset B$ и $B \subset A$.
|
||
|
||
>**Пространство элементарных событий** - достоверное множество $\Omega$.
|
||
|
||
>**Элементарное событие** - элемент $\omega$ множества $\Omega$.
|
||
|
||
Если множество $\Omega$ конечно, то событиями являются все подмножества множества $\Omega$. Иначе рассматриваются не все подмножества $\Omega$, а только такие подмножества, которые называются алгебрами и $\sigma$-алгебрами.
|
||
|
||
>**Алгебра** - семейство $\mathcal{A}$ подмножеств $\Omega$, которое удовлетворяет следующим условиям:
|
||
> A1) $\Omega \in \mathcal{A}$
|
||
> A2) $A \in \mathcal{A} \implies \overline{A} \in \mathcal{A}$
|
||
> A3) $A, B \in \mathcal{A} \implies A \cup B, \ A \cap B \in \mathcal{A}$
|
||
>В силу равенств $A \cup B = \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}, \ B \cap A = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$, а также условия 2, в условии 3 достаточно потребовать лишь выполнение одного из условий $A \cup B \in \mathcal{A}$ или $A \cap B \in \mathcal{A}$, а не обоих.
|
||
|
||
>**$\sigma$-алгебра** - семейство $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$, которое является алгеброй и удовлетворяет условию $$\text{A3*)} \ A_n \in \mathcal{F}, n = 1,2,..., \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}, \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$$
|
||
>В силу того, что $$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega - \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{A_n}, \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega - \bigcup_{n=1}^{\infty} \overline{A_n}$$ а также условий 2 и 3 определения алгебры получаем, что нам достаточно потребовать лишь выполнение одного из условий $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$ или $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}$, а не обоих.
|
||
|
||
>**Измеримое пространство** - пара ($\Omega, \mathcal{F}$), состоящая из множества $\Omega$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$.
|
||
## Вероятность
|
||
|
||
Далее будем использовать такие понятия, как [алгебра](#События), [событие](#События), [измеримое пространство](#События).
|
||
|
||
>**Мера** - числовая функция $\mu : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям
|
||
> 1) $\mu(\varnothing) = 0$
|
||
> 2) $\mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$, где $\{A_i\} \subset \mathcal{F} : \forall i,j \ (i \neq j) \ A_i \bigcap A_j = \varnothing$
|
||
|
||
>**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - мера $\text{P} : \mathcal{F} \to [0,1]$, удовлетворяющих условиям
|
||
> P1) $\text{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}$
|
||
> P2) $\text{P}(\Omega) = 1$
|
||
> P3) $\text{P}(A+B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) \quad \forall A, B \in \mathcal{F}, \ AB = \varnothing$
|
||
> P4) $A_n \downarrow \varnothing \quad (\ \text{то есть} \ A_1 \supset A_2 \supset \dots \ \text{и} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \varnothing) \implies \lim\limits_{n \to \infty} \text{P}(A_n) = 0$
|
||
>Эти 4 свойства соответственно характеризуют неотрицательность, нормированность, аддитивность и непрерывность P.
|
||
|
||
>**Вероятностное пространство** ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) - тройка, где $\Omega$ - пространство элементарных событий, $\mathcal{F}$ - $\sigma$-алгебра событий, $\text{P}$ - вероятность на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$).
|
||
|
||
Пусть ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) - вероятностное пространство.
|
||
1. $\varnothing + \varnothing = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\varnothing) + \text{P}(\varnothing) = \text{P}(\varnothing) \implies \text{P}(\varnothing) = 0$
|
||
2. $A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$
|
||
3. $A \subset B \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A) \implies_\text{из условия P1)} \ \text{P}(A) \leq \text{P}(B)$
|
||
4. $\forall A \in \mathcal{F}, \quad \text{P}(\varnothing) = 0, \quad \text{P}(\Omega) = 1, \quad \varnothing \subset A \subset \Omega \implies 0 \leq \text{P}(A) \leq 1$
|
||
5. $\forall A, \quad A + \overline{A} = \Omega, \quad A\overline{A} = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)$
|
||
6. $A_i A_j = \varnothing \ \forall i \neq j \implies \text{P}(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} \text{P}(A_i)$ (конечная аддитивность, доказывается индукцией по n с использованием условия P3) )
|
||
7. $\forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$
|
||
8. $\forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$
|
||
9. $A_n \nearrow A \ \text{или} \ A_n \searrow A \implies \lim\limits_{n} \text{P}(A_n) = \text{P}\left( \lim\limits_{n} A_n \right)$
|
||
|
||
Таким образом, получаем 9 свойств вероятностного пространства:
|
||
1. $\text{P}(\varnothing) = 0$
|
||
2. $\text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)$
|
||
3. $\text{P}(A) \leq \text{P}(B)$
|
||
4. $0 \leq \text{P}(A) \leq 1$
|
||
5. $\text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)$
|
||
6. Конечная аддитивность
|
||
7. $\text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)$
|
||
8. $\text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)$
|
||
9. Непрерывность вероятности P
|
||
|
||
При этом видно, что аксиомы P3) и P4) можно заменить одной аксиомой счетной аддитивности P3*).
|
||
>P3*) $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}, \ A_i A_j = \varnothing, \ i \neq j \implies \text{P} \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \text{P}(A_n)$
|
||
|
||
>***Теорема***. Система аксиом P1), P2), P3), P4) равносильна системе аксиом P1), P2), P3*).
|
||
## Дискретное вероятностное пространство
|
||
|
||
Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
|
||
|
||
>**Конечное вероятностное пространство** - вероятностное пространство, построенное следующим образом. Пусть $\Omega$ = $\{ \omega_1, \dots, \omega_n \}$ - конечное множество, $\mathcal{A}$ - алгебра всех подмножеств множества $\Omega$ (так как $\Omega$ конечно, то $\mathcal{A}$ - $\sigma$-алгебра), $p_i, i = 1, \dots, n$ - положительные числа, $\sum\limits_{i=1}^{n} p_i = 1$. Для события A положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{\omega_i \in A} p_i = 1$. Для невозможного события положим $\text{P}(\varnothing) = 0$. Нетрудно доказать, что данное вероятностное пространство удовлетворяет всем аксиомам.
|
||
|
||
>**Классическое определение вероятности** - частный случай определения вероятности, при котором все $p_i$ равны между собой. Тогда в данном случае считается, что $p_i = \frac{1}{| \Omega |}$ и $\text{P}(A) = \frac{| A |}{| \Omega |}$.
|
||
|
||
>**Симметрия** - свойство элементарных событий, при котором все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания. В таких случаях как раз и используется модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности.
|
||
|
||
>**Дискретное вероятностное пространство** - обобщение конечного вероятностного пространства, построенное следующим образом. Пусть $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \dots \}$ - счетное множество, $\mathcal{F}$ - набор всех подмножеств $\Omega$, $p_n, n = 1, 2, \dots,$ - неотрицательные числа, такие что выполнено условие $\sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n = 1$. $\forall A \in \mathcal{F}$ положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{n \in \{ n: \omega_n \in A \}}^{\infty} p_n$. Нетрудно доказать, что вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \text{P})$ удовлетворяет всем аксиомам.
|
||
## Геометрические вероятности
|
||
|
||
Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
|
||
|
||
>Определим вероятностное пространство, служащее моделью задач, в которых частица случайном образом бросается в какую-либо область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом (предполагается, что вероятность попасть частице в какую-либо область этого пространства пропорциональна n-мерному объему этой области). Пусть $\Omega$ - область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом, а событие - подмножество $\Omega$, для которых можно определить n-мерный объем, множество событий - $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}$ борелевских подмножеств $\Omega$. Положим вероятность события A $\text{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, где $|A|, |\Omega|$ - n-мерный объем соответствующего множества. Нетрудно понять, что вероятностное пространство ($\Omega, \mathcal{B}, \text{P}$) удовлетворяет всем аксиомам.
|
||
|
||
>**Абсолютно непрерывное вероятностное пространство** - обобщение вероятностного пространства, построенного выше. Пусть $\Omega = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \}$ - n-мерное вещественное евклидово пространство, $\pi(x_1, x_2, \dots, x_n)$ - неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любой квадрируемой области из $\Omega$. Будем предполагать, что существует несобственный интеграл по $\Omega$ от функции $\pi(x_1, x_2, \dots, x_n)$ и $\int\limits_{\Omega} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n = 1$. Обозначим через $\mathcal{F}$ алгебру, порожденную квадрируемыми областями в $\Omega$. Положим $\forall A \in \mathcal{F} \quad \text{P}(A) = \int\limits_{A} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n$. Нетрудно понять, что вероятностное пространство ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) удовлетворяет всем аксиомам. |