Info/2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md

Содержание

• Случайные события. Статическая вероятность
• События
• Вероятность
• Дискретное вероятностное пространство
• Геометрические вероятности

Случайные события. Статическая вероятность

Рассмотрим некоторый опыт, в результате которого может наступить или не наступить событие A.

Испытания - такие опыты, которые можно в данных условиях в принципе реализовать какое угодно количество раз.

Частота (события A в n испытаниях) - отношение числа n(A) наступлений события A в этих испытаниях к числу испытаний n. p_n(A) = \frac{n(A)}{n} .

Вероятность (события A) - число, являющееся мерой возможности наступления события A. \text{P}(A) = \lim_{n \to \infty} p_n(A)

Статическая вероятность - вероятность события, найденная на основе испытаний.

Определение вероятности является математической идеализацией реальных событий, ведь в реальности можно реализовать только конечное количество испытаний, а требование полного совпадения начальных условий выполнено лишь с некоторым приближением.

События

Случайное событие (в реальности) - исход какого-либо испытания, наблюдения, который может произойти или не произойти. В математической модели понятие случайного события является первоначальным, не имеет определения и характеризуется лишь своими свойствами.

Достоверное событие (\Omega) - событие, которое всегда происходит.

Невозможное событие (\varnothing) - событие, которое никогда не происходит.

Произведение событий (A и B) - событие AB (A \cap B), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и A и B вместе.

Несовместимые события (A и B) - cобытия, произведение которых - невозможное событие (AB = \varnothing).

Сумма (событий A и B) - событие A + B (A \cup B), состоящее в том, что произошло по крайней мере одно из событий A или B.

Разность (событий A и B) - событие A - B (A \ B), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.

Противоположное событие (события A) - событие \overline{A}, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит A. \overline{A} = \Omega - A

Событие A влечёт событие B, если A \subset B.

Равносильные события (A и B) - события A = B, для которых верно A \subset B и B \subset A.

Пространство элементарных событий - достоверное множество \Omega.

Элементарное событие - элемент \omega множества \Omega.

Если множество \Omega конечно, то событиями являются все подмножества множества \Omega. Иначе рассматриваются не все подмножества \Omega, а только такие подмножества, которые называются алгебрами и $\sigma$-алгебрами.

Алгебра - семейство \mathcal{A} подмножеств \Omega, которое удовлетворяет следующим условиям: A1) \Omega \in \mathcal{A} A2) A \in \mathcal{A} \implies \overline{A} \in \mathcal{A} A3) A, B \in \mathcal{A} \implies A \cup B, \ A \cap B \in \mathcal{A} В силу равенств A \cup B = \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}, \ B \cap A = \overline{\overline{A} \cup \overline{B}}, а также условия 2, в условии 3 достаточно потребовать лишь выполнение одного из условий A \cup B \in \mathcal{A} или A \cap B \in \mathcal{A}, а не обоих.

$\sigma$-алгебра - семейство \mathcal{F} подмножеств \Omega, которое является алгеброй и удовлетворяет условию \text{A3*)} \ A_n \in \mathcal{F}, n = 1,2,..., \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}, \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F} В силу того, что \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega - \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{A_n}, \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega - \bigcup_{n=1}^{\infty} \overline{A_n} а также условий 2 и 3 определения алгебры получаем, что нам достаточно потребовать лишь выполнение одного из условий \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F} или \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}, а не обоих.

Измеримое пространство - пара (\Omega, \mathcal{F}), состоящая из множества \Omega и $\sigma$-алгебры \mathcal{F} подмножеств \Omega.

Вероятность

Мера - числовая функция \mu : \mathcal{F} \to \mathbb{R}, заданная на $\sigma$-алгебре событий \mathcal{F}, удовлетворяющая условиям

1. \mu(\varnothing) = 0
2. \mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i), где \{A_i\} \subset \mathcal{F} : \forall i,j \ (i \neq j) \ A_i \bigcap A_j = \varnothing

Вероятность (на измеримом пространстве (\Omega, \mathcal{F})) - мера \text{P} : \mathcal{F} \to [0;1], удовлетворяющих условиям P1) \text{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F} P2) \text{P}(\Omega) = 1 P3) \text{P}(A+B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) \quad \forall A, B \in \mathcal{F}, \ AB = \varnothing P4) A_n \downarrow \varnothing \quad (\ \text{то есть} \ A_1 \supset A_2 \supset \dots \ \text{и} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \varnothing) \implies \lim\limits_{n \to \infty} \text{P}(A_n) = 0 Эти 4 свойства соответственно характеризуют неотрицательность, нормированность, аддитивность и непрерывность P.

Вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \text{P}) - тройка, где \Omega - пространство элементарных событий, \mathcal{F} - $\sigma$-алгебра событий, \text{P} - вероятность на измеримом пространстве (\Omega, \mathcal{F}).

Пусть (\Omega, \mathcal{F}, \text{P}) - вероятностное пространство.

1. \varnothing + \varnothing = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\varnothing) + \text{P}(\varnothing) = \text{P}(\varnothing) \implies \text{P}(\varnothing) = 0
2. A \subset B \implies B = A + (B - A), \quad A(B - A) = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - A) \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)
3. A \subset B \implies \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A) \implies_\text{из условия P1)} \ \text{P}(A) \leq \text{P}(B)
4. \forall A \in \mathcal{F}, \quad \text{P}(\varnothing) = 0, \quad \text{P}(\Omega) = 1, \quad \varnothing \subset A \subset \Omega \implies 0 \leq \text{P}(A) \leq 1
5. \forall A, \quad A + \overline{A} = \Omega, \quad A\overline{A} = \varnothing \implies_\text{из условия P3)} \ \text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)
6. A_i A_j = \varnothing \ \forall i \neq j \implies \text{P}(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} \text{P}(A_i) (конечная аддитивность, доказывается индукцией по n с использованием условия P3) )
7. \forall A_1, \dots, A_n \ \text{пусть} \ \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k = \bigcup\limits_{k=1}^{n} B_k, \quad B_k = A_k - \bigcup\limits_{i=1}^{k-1} A_i,(B_k \text{ - попарно несовместимые события}) \implies_\text{из аддитивности свойства 6} \quad \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(B_k), \quad \text{P}(B_k) \leq \text{P}(A_k) \implies \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)
8. \forall A, B \implies A + B = A + (B - AB) \implies_\text{из условия P3)} \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B - AB) \implies_\text{из свойства 2} \ \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)
9. A_n \nearrow A \ \text{или} \ A_n \searrow A \implies \lim\limits_{n} \text{P}(A_n) = \text{P}\left( \lim\limits_{n} A_n \right)

Таким образом, получаем 9 свойств вероятностного пространства:

1. \text{P}(\varnothing) = 0
2. \text{P}(B - A) = \text{P}(B) - \text{P}(A)
3. \text{P}(A) \leq \text{P}(B)
4. 0 \leq \text{P}(A) \leq 1
5. \text{P}(\overline{A}) = 1 - \text{P}(A)
6. Конечная аддитивность
7. \text{P}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \text{P}(A_k)
8. \text{P}(A + B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(AB)
9. Непрерывность вероятности P

При этом видно, что аксиомы P3) и P4) можно заменить одной аксиомой счетной аддитивности P3*).

P3*) \{A_n\}_{n=1}^{\infty}, \ A_i A_j = \varnothing, \ i \neq j \implies \text{P} \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \text{P}(A_n)

Теорема. Система аксиом P1), P2), P3), P4) равносильна системе аксиом P1), P2), P3*).

Дискретное вероятностное пространство

Конечное вероятностное пространство - вероятностное пространство, построенное следующим образом. Пусть \Omega = \{ \omega_1, \dots, \omega_n \} - конечное множество, \mathcal{A} - алгебра всех подмножеств множества \Omega (так как \Omega конечно, то \mathcal{A} - $\sigma$-алгебра), p_i, i = 1, \dots, n - положительные числа, \sum\limits_{i=1}^{n} p_i = 1. Для события A положим \text{P}(A) = \sum\limits_{\omega_i \in A} p_i = 1. Для невозможного события положим \text{P}(\varnothing) = 0. Нетрудно доказать, что данное вероятностное пространство удовлетворяет всем аксиомам.

Классическое определение вероятности - частный случай определения вероятности, при котором все p_i равны между собой. Тогда в данном случае считается, что p_i = \frac{1}{| \Omega |} и \text{P}(A) = \frac{| A |}{| \Omega |}.

Симметрия - свойство элементарных событий, при котором все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания. В таких случаях как раз и используется модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности.

Дискретное вероятностное пространство - обобщение конечного вероятностного пространства, построенное следующим образом. Пусть \Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \dots \} - счетное множество, \mathcal{F} - набор всех подмножеств \Omega, p_n, n = 1, 2, \dots, - неотрицательные числа, такие что выполнено условие \sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n = 1. \forall A \in \mathcal{F} положим \text{P}(A) = \sum\limits_{n \in \{ n: \omega_n \in A \}}^{\infty} p_n. Нетрудно доказать, что вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \text{P}) удовлетворяет всем аксиомам.

Геометрические вероятности

Определим вероятностное пространство, служащее моделью задач, в которых частица случайном образом бросается в какую-либо область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом (предполагается, что вероятность попасть частице в какую-либо область этого пространства пропорциональна n-мерному объему этой области). Пусть \Omega - область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом, а событие - подмножество \Omega, для которых можно определить n-мерный объем, множество событий - $\sigma$-алгебра \mathcal{B} борелевских подмножеств \Omega. Положим вероятность события A \text{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}, где |A|, |\Omega| - n-мерный объем соответствующего множества. Нетрудно понять, что вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{B}, \text{P}) удовлетворяет всем аксиомам.

Абсолютно непрерывное вероятностное пространство - обобщение вероятностного пространства, построенного выше. Пусть \Omega = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \} - n-мерное вещественное евклидово пространство, \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) - неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любой квадрируемой области из \Omega. Будем предполагать, что существует несобственный интеграл по \Omega от функции \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) и \int\limits_{\Omega} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n = 1. Обозначим через \mathcal{F} алгебру, порожденную квадрируемыми областями в \Omega. Положим \forall A \in \mathcal{F} \quad \text{P}(A) = \int\limits_{A} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n. Нетрудно понять, что вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F}, \text{P}) удовлетворяет всем аксиомам.