30 KiB
Содержание
- #Механическое движение
- #Тело
- #Материальная точка
- #Абсолютно твердое тело
- #Траектория
- #Относительность формы траектории
- #Радиус кривизны траектории
- #Скорость
- #Линейная путевая скорость
- #Скорость как векторная величина
- #Вращательное движение. Угловая скорость
- #Ускорение
- #Тело
- #Система отсчета
- #Система координат
- #Декартова система координат
- #Полярная СК
- #Цилиндрическая СК
- #Сферическая СК
- #Вектор
- #Представление вектора в проекциях на оси декартовой системы координат
- #Скалярное произведение векторов
- #Модуль вектора
- #Векторное произведение векторов
- #Двойное векторное произведение
- #Радиус-вектор
- #Система координат
Механическое движение
Движение (в общем) - всякое изменение.
Механическое движение - изменение положения тел или их частей относительно друг друга в пространстве с течением времени.
Механическое движение является простейшей формой движения.
Тело
Тело - материальный объект, имеющий массу, форму и объем и отделенный от других тел внешней границей.
Материальная точка
Материальная точка - тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел в данной задаче.
К примеру, в задаче рассмотрения земной орбиты, радиус которой составляет около 150 миллионов километров, Землю можно считать материальной точкой, ведь ее размер всего 12 742 километра, что более чем в 10 тысяч раз меньше.
Другим примером может служить задача рассмотрения клетки живого организма, средний размер которой от 10^{-5} до 10^{-6} метров. В такой задаче материальной точкой может служить вирус, средний размер которого 10^{-8} метра, что примерно в 100 раз меньше.
Абсолютно твердое тело
Абсолютно твердое тело (АТТ) - тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
Очевидно, пренебречь деформацией можно не во всех задачах. Взять, например, теннисный мяч. Если его с большой силой бросить в землю, то во время приземления он достаточно сильно деформируется, и его нельзя будет считать абсолютно твердым телом.
Траектория
Траектория - линия, по которой механически движется тело.
Относительность формы траектории
Очевидно, что при изменении системы отсчета меняется и траектория, с которой движется тело.
Самым простым и легко проверяемым примером такой относительности является взаимное движение Земли и Луны относительно друг друга. Если смотреть на Луну с Земли (то есть следить за траекторией Луны в системы отсчета, связанной с центром Земли), то ее траектория будет примерно напоминать окружность (естественно, ведь для земного наблюдателя она движется вокруг Земли). Но если же смотреть наоборот, с Луны на Землю (то есть следить за траекторией Земли в системе отсчета, связанной с центром Луны), то Земля будет оставаться практически неподвижной (на самом деле, она будет слегка смещаться со своего места, но незначительно). Как следствие данного явления, Луну можно разделить на две стороны: светлая (постоянно направленная на Землю) и темная (постоянно направленная от Земли).
Радиус кривизны траектории
Любую кривую траекторию можно представить как чередование прямолинейного движения и движения по сегменту окружности, только в каждой точке эта окружность будет обладать разными радиусами.
Конечно, в любой точке такой траектории этот радиус можно посчитать. Основная формула радиуса кривизны траектории R = \frac{ds}{d \varphi}. Но учитывая, что обе эти величины сильно малы, для расчетов такая формула не подойдет. Поэтому существуют другие способы.
Предположим, известна зависимости координаты y от координаты x. Тогда можно сказать, что \tan \varphi = \frac{dy}{dx} = y'. Далее
ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = dx \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = dx \sqrt{1 + (y')^2}
Изменение угла можно выразить через вторую производную, а значит получаем
y'' = \frac{d}{dx}(\tan \varphi) = \frac{1}{\cos^2 \varphi} \frac{d \varphi}{dx} = (1 + \tan^2 \varphi) \frac{d \varphi}{dx}
откуда можно выразить d \varphi = \frac{y'' dx}{1 + (y')^2}. Иными словами, получаем
R = \frac{\left(1 + (y')^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{y''}
Но а если такая зависимость неизвестна? Тогда можно найти радиус кривизны траектории, зная зависимость обеих координат от времени. Для этого нужно рассмотреть
k = \frac{1}{R} = \frac{d \varphi}{ds} = \frac{d \varphi}{ds} \cdot \frac{dt}{dt} = \frac{\frac{d \varphi}{dt}}{\frac{ds}{dt}}
Для знаменателя легко получить
\frac{ds}{dt} = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}
Зная, что \tan \varphi = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}, а значит и \varphi = \arctan \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right), можно также легко получить и числитель
\frac{d \varphi}{dt} =
\frac{d}{dt} \left( \arctan \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right) \right) =
\frac{1}{1 + \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right)^2} \cdot \left( \frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\dot{x}^2} \right) =
\frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}
Тогда легко можно получит как k = \frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}, так и финальный ответ
R = \frac{\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}
Скорость
Линейная путевая скорость
Линейная путевая скорость - скалярная величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени.
Средняя скорость тела на определенном участке пути, пройденном за определенное время, считается по формуле \langle v \rangle = \frac{dS}{dt}. Мгновенную скорость (то есть скорость в определенный момент времени) можно найти по формуле v = \lim\limits_{\delta t \to 0} \frac{\delta S}{\delta t}. Если тело движется равномерно, то его средняя и мгновенная скорости равны.
Скорость как векторная величина
Конечно, скорость можно изобразить и как векторную величину. Но только тогда это будет вектор скорости, а не сама скорость. Этот вектор можно найти по формуле \vec{v} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt}, где \vec{r} - вектор движения тела с началом в точке начала движения и с концом в точке конца движения. То есть, формула вектора скорости очень сложа с формулой мгновенной скорости, с изменением лишь пройденного расстояния на вектор перемещения тела.
Вектор скорости в трехмерном пространстве можно также, как и любой другой вектор, разложить на компоненты. Тогда получится v_x = \frac{dx}{dt}, v_y = \frac{dy}{dt} и v_z = \frac{dz}{dt}.
Помимо этого, скорость можно также рассматривать как \vec{v} = | v | \cdot \vec{\tau} (то есть модуль скорости на ее орт, что есть \hat{e}_v = \frac{\vec{v}}{|v|} = \vec{\tau}).
Вращательное движение. Угловая скорость
При движении по окружности, помимо обычной скорости, у тела появляется угловая скорость.
Угловая скорость - векторная величина, направленная вдоль оси вращения тела, которая показывает изменение угла тела относительно оси вращения за единицу времени.
Из определения следует, что для нахождения мгновенной угловой скорости можно использовать формулу \omega = \frac{d \varphi}{dt}. Направление угловой скорости можно определить, использовав правило правой руки: если загнуть пальцы вдоль траектории движения тела, то большой палец покажет направление угловой скорости.
Помимо этого, с помощью угловой скорости можно найти и мгновенную линейную скорость по формуле \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}, где \vec{r} - радиус-вектор. При этом эта формула будет верна при любом расположении центра системы координат на оси вращения тела.
Ускорение
Ускорение - скалярная величина, характеризующая изменение скорости тела относительно времени.
Как и у скорости, у ускорения может быть вектор. \vec{a} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}.
Также можно рассмотреть скорость как \vec{v} = | v | \cdot \vec{\tau}, тогда ускорение получается \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d(v \vec{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt} \vec{\tau} + v \frac{d \vec{\tau}}{dt}. Первое слагаемое в полученной сумме называют тангенциальным ускорением (то есть \vec{a}_\tau = \frac{d |\vec{v}|}{dt} \cdot \vec{\tau} при \vec{\tau} = const).
При равномерном движении по окружности у тела возникает вектор \vec{n}, направленный постоянно от тела к оси вращения и меняющий свое направление со временем и изменением угла, по модулю при этом оставаясь неизменным.
Тогда рассмотрим второе слагаемое предыдущей суммы как v \frac{d \vec{\tau}}{dt} = v \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta t} = v \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{n} \Delta \varphi}{\Delta t} = v \cdot \omega \vec{n} = \frac{v^2}{R} \vec{n}. Такое ускорение \vec{a}_n = \frac{v^2}{R} \cdot \vec{n} называется нормальным (или центростремительным). Иначе (без вектора) его можно записать как a_n = \frac{v^2}{R} = v\omega = \omega^2 R.
Система отсчета
Система отсчета - совокупность тела отсчета (к которому привязана система координат), единой меры расстояния и времени.
Система координат
Система координат - способ определения положения и перемещения тела в пространстве с помощью чисел.
Декартова система координат
Самой распространенной системой отсчета является декартова система координат. Иногда ее также называют прямоугольной. Она может иметь любую размерность, но дальше будет рассматриваться только трехмерный случай.
Состоит она из трех прямых - оси абсцисс (OX), оси ординат (OY) и оси аппликат (OZ). Прямоугольной она называется потому, что эти три прямые ортогональны (то есть имеют между собой угол 90$\degree$).
Направление этих прямых определяется двумя способами: правилом правой руки или правило левой руки. В обоих случаях большой палец определяет направление абсциссы, а указательный - ординаты. Разница существует в направлении аппликаты - оно определяется средним пальцем. Приоритетнее строить систему координат по правилу правой руки, но в зависимости от задачи направление осей можно менять.
В такой системе координат точка определяется тремя числами - значениями отклонения данной точки от центра оси координат в зависимости от осей и их направления. Иными словами. любую точку в пространстве можно представить в виде трех чисел - значений оси абсцисс, оси ординат и оси аппликат в этой точке.
Полярная СК
Другой распространенной системой координат является двумерная полярная система координат.
Она состоит из двух компонентов: радиуса до точки (расстояния, на котором находится точка от начала координат) и угла между прямой, на которой лежат точка и начало координат, и лучом, обозначающим нулевой угол. Чаще всего, угол в такой системе координат считается в радианах.
Радиан (рад/rad, от лат. radius - луч, радиус) - угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу.
На самом деле, такую систему координат очень легко превратить в двумерную декартову. Для этого достаточно представить представить ось абсцисс как x = r \cos \varphi и ось ординат как y = r \sin \varphi. Таким образом, каждой паре радиуса и угла можно однозначно сопоставить пару абсциссы и ординаты. При таком представлении лучом с нулевым углом станет положительное направление оси абсцисс.
Цилиндрическая СК
Одним из способов расширить полярную систему координат до трехмерного случая является цилиндрическая система координат.
В случае такой системы координат два основных направления совпадают с полярной системой координат (то есть, угол и радиус). Третья ось добавляется перпендикулярно плоскости третьей плоскости и в точности соответствует оси аппликат из декартовой системы координат.
Соответственно, при представлении этой системы координат в виде декартовой, две оси из полярной системы координат (угол и радиус) переводятся точно также, как и в этой системе. Последняя ось остается без изменения.
Сферическая СК
Другим случаем расширения полярной системы координат до трехмерного случая является сферическая система координат.
Принцип построения данной системы координат почти полностью совпадает с таковым у полярной системы координат. Соответственно, радиус и угол из полярной системы координат остается без изменения. В то же время строится луч, ортогональный двумерной полярной системе координат, и он становится нулевым лучом нового угла. Таким образом, в систему добавляется новый угол с другим начальным лучом, что позволяет любую точку пространства представить в виде трех компонентов: радиуса и двух углов.
Эту систему тоже можно превратить в декартову систему координат. Только для этого придется использовать два угла, а не один. В таком случае получаем, что x = r \sin \theta \cos \varphi, y = r \sin \theta \cos \varphi, а z = r \cos \theta (где \theta - новый угол).
Вектор
Вектор - величина, характеризующая перемещение из одной точки пространства в другую.
Представление вектора в проекциях на оси декартовой системы координат
Любой вектор в декартовой системе координат представляет собой перемещение из одной точки, имеющей координаты, в другую. Но для удобной работы с вектором такого представления недостаточно.
Поэтому вектор в декартовой системе координат можно представить как перемещение из начала координат в точку плоскости, аналогичное изначальному перемещению из точки в точку. Такое представление позволяет записывать вектор в виде трех значений осей (как раз по точке, в которую он приходит из начала координат), а также удобно складывать и умножать вектора. А зная изначальную точку, из которой выходит вектор, можно с помощью поэлементного сложения значений координат найти точку, в которую этот вектор придет, а значит такое представление не сильно отличается от более простого (описанного выше), но гораздо удобнее в плане вычислений.
Иными словами, вектор можно представить как \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}. Тогда можно представить вектор и как \vec{a} = a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z, где \hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z - орты системы координат, то есть единичные вектора каждой координаты.
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение - покомпонентное произведение векторов.
То есть, при таком произведении сначала перемножаются все компоненты используемых векторов, а после находится их сумма. Формула: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z.
Если такое произведение равно нулю, то это значит, что рассматриваемые вектора ортогональны (или, если проще, перпендикулярны). Отсюда следует альтернативная формула: \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})).
Можно расписать скалярное произведение поподробнее, с использованием орт. Тогда получим
\vec{a} \cdot \vec{b} =
(a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z) \cdot (b_x \hat{e}_x + b_y \hat{e}_y + b_z \hat{e}_z) =
a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 + a_x b_y \hat{e}_x \hat{e}_y + a_x b_z \hat{e}_x \hat{e}_z + a_y b_x \hat{e}_x \hat{e}_y + a_y b_z \hat{e}_y \hat{e}_z + a_z b_x \hat{e}_x \hat{e}_z + a_z b_y \hat{e}_y \hat{e}_z =
a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 + (a_x b_y + a_y b_x) \hat{e}_x \hat{e}_y + (a_x b_z + a_z b_x) \hat{e}_x \hat{e}_z + (a_y b_z + a_z b_y) \hat{e}_y \hat{e}_z
Так как произведение различных орт равно нулю (они ортогональны), то получается необходимое равенство \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z.
Модуль вектора
Модуль вектора - скалярная величина, характеризующая длину вектора.
Модуль вектора можно найти по формуле a = | \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}. Подробнее это можно расписать как a = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}, а дальше под корнем найти скалярное произведение векторов (можно даже с ортами, тогда получится a = \sqrt{a_x^2 \hat{e}_x^2 + a_y^2 \hat{e}_y^2 + a_z^2 \hat{e}_z^2}, что тоже самое).
Векторное произведение векторов
Векторное произведение - вектор, полученный произведением двух векторов и который по направлению им ортогонален, а по модулю равен площади параллелограмма, полученного из них.
Векторное произведение векторов обозначается как \vec{a} \times \vec{b} или [\vec{a}, \vec{b}]. Направление векторного произведения можно легко найти по правилу правой руки: если указательный палец направить по направлению первого вектора, а средний - по направлению второго, то большой палец покажет направление векторного произведения.
Из определения следует, что векторное произведение можно найти по формуле \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin \alpha \cdot \hat{n}, где \alpha - угол между векторами, а \hat{n} - вектор нормали к плоскости, в которой эти два вектора лежат.
Также векторное произведение можно найти и другим способом, используя матрицу и ее определитель, по формуле \vec{a} \times \vec{b} = \mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix} \right|} = \hat{i} \mathop{\left| \begin{matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{matrix} \right|} - \hat{j} \mathop{\left| \begin{matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{matrix} \right|} + \hat{k} \mathop{\left| \begin{matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix} \right|} = \hat{i} (a_y b_z - a_z b_y) - \hat{j} (a_x b_z - a_z b_x) + \hat{k} (a_x b_y - a_y b_x) = \hat{i} (a_y b_z - a_z b_y) + \hat{j} (a_z b_x - a_x b_z) + \hat{k} (a_x b_y - a_y b_x).
Двойное векторное произведение
Также существует довольно простая формула для нахождения двойного векторного произведения трех векторов: [\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b} (\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a}, \vec{b}). Его легко запомнить как "бац минус цаб"
Данную формулу можно достаточно легко доказать. Для начала, провернем систему координат так, чтобы вектор \vec{c} в этой системе имел координаты \{0, 0, c_z\}, а после еще раз провернем так, чтобы вектор \vec{b} в этой системе имел координаты \{0, b_y, b_z\}. Далее посчитаем произведение
[\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] =
\left[\vec{a}, \mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b_y & b_z \\ 0 & 0 & c_z \end{matrix} \right|}\right] =
\left[ \vec{a}, \hat{i} (b_y c_z) \right] =
\mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_y c_z & 0 & 0 \end{matrix} \right|} =
\hat{j} (a_z b_y c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z) =
\hat{j} (a_z b_y c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z) + \hat{k} (a_z b_z c_z) - \hat{k} (a_z b_z c_z) =
\hat{j} (a_z b_y c_z) + \hat{k} (a_z b_z c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z + a_z b_z c_z) =
\vec{b} (a_z c_z) - \vec{c} (a_y b_y + a_z b_z) =
\vec{b} (\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a}, \vec{b})
Таким образом, получаем нужное равенство.
Радиус-вектор
Радиус-вектор - вектор от центра координат до точки в пространстве.
Иными словами, для точки с координатами \{x, y, z\} радиус-вектор будет равен \vec{r} = x \cdot \hat{e}_x + y \cdot \hat{e}_y + z \cdot \hat{e}_z. Очевидно, тогда длина радиус-вектора будет равна r = | \vec{r} | = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.