From 89d9b70b79ff16873a1418b57274bcded7f4774e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: LeterZP Date: Sun, 1 Nov 2026 00:48:08 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=B0=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=201=20?= =?UTF-8?q?=D0=BF=D0=BE=20=D1=84=D0=B8=D0=B7=D0=B8=D0=BA=D0=B5?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 2 курс/2 курс.md | 1 + .../Физика/Кинематика материальной точки.md | 232 ++++++++++++++++++ 2 курс/Физика/Физика.md | 3 + 3 files changed, 236 insertions(+) create mode 100644 2 курс/Физика/Кинематика материальной точки.md create mode 100644 2 курс/Физика/Физика.md diff --git a/2 курс/2 курс.md b/2 курс/2 курс.md index bf9e70b..9c15118 100644 --- a/2 курс/2 курс.md +++ b/2 курс/2 курс.md @@ -3,6 +3,7 @@ - **[Архитектура компьютера](Архитектура%20компьютера/Архитектура%20компьютера.md)** - **[Веб-программирование](Веб-программирование/Веб-программирование.md)** - **[Теория вероятностей](Теория%20вероятностей/Теория%20вероятностей.md)** +- **[Физика](Физика/Физика.md)** - **[Языки программирования](Языки%20программирования/Языки%20программирования.md)** ### Журналы - [Архитектура компьютера](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1WvS1ad9J6jXNwSxTRnQs4yGgUBlwFzopUXUiYbGCZMw/edit?usp=sharing) diff --git a/2 курс/Физика/Кинематика материальной точки.md b/2 курс/Физика/Кинематика материальной точки.md new file mode 100644 index 0000000..8a45f02 --- /dev/null +++ b/2 курс/Физика/Кинематика материальной точки.md @@ -0,0 +1,232 @@ +## Содержание +- [[#Механическое движение]] + - [[#Тело]] + - [[#Материальная точка]] + - [[#Абсолютно твердое тело]] + - [[#Траектория]] + - [[#Относительность формы траектории]] + - [[#Радиус кривизны траектории]] + - [[#Скорость]] + - [[#Линейная путевая скорость]] + - [[#Скорость как векторная величина]] + - [[#Вращательное движение. Угловая скорость]] + - [[#Ускорение]] +- [[#Система отсчета]] + - [[#Система координат]] + - [[#Декартова система координат]] + - [[#Полярная СК]] + - [[#Цилиндрическая СК]] + - [[#Сферическая СК]] + - [[#Вектор]] + - [[#Представление вектора в проекциях на оси декартовой системы координат]] + - [[#Скалярное произведение векторов]] + - [[#Модуль вектора]] + - [[#Векторное произведение векторов]] + - [[#Двойное векторное произведение]] + - [[#Радиус-вектор]] + + + + + +## Механическое движение + +>**Движение** (в общем) - всякое изменение. + +>**Механическое движение** - изменение положения тел или их частей относительно друг друга в пространстве с течением времени. + +Механическое движение является простейшей формой движения. +### Тело + +>**Тело** - материальный объект, имеющий массу, форму и объем и отделенный от других тел внешней границей. +#### Материальная точка + +>**Материальная точка** - тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел в данной задаче. + +К примеру, в задаче рассмотрения земной орбиты, радиус которой составляет около 150 миллионов километров, Землю можно считать материальной точкой, ведь ее размер всего 12 742 километра, что более чем в 10 тысяч раз меньше. + +Другим примером может служить задача рассмотрения клетки живого организма, средний размер которой от $10^{-5}$ до $10^{-6}$ метров. В такой задаче материальной точкой может служить вирус, средний размер которого $10^{-8}$ метра, что примерно в 100 раз меньше. +#### Абсолютно твердое тело + +> **Абсолютно твердое тело** (АТТ) - тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи. + +Очевидно, пренебречь деформацией можно не во всех задачах. Взять, например, теннисный мяч. Если его с большой силой бросить в землю, то во время приземления он достаточно сильно деформируется, и его нельзя будет считать абсолютно твердым телом. +### Траектория + +>**Траектория** - линия, по которой механически движется тело. +#### Относительность формы траектории + +Очевидно, что при изменении системы отсчета меняется и траектория, с которой движется тело. + +Самым простым и легко проверяемым примером такой относительности является взаимное движение Земли и Луны относительно друг друга. Если смотреть на Луну с Земли (то есть следить за траекторией Луны в системы отсчета, связанной с центром Земли), то ее траектория будет примерно напоминать окружность (естественно, ведь для земного наблюдателя она движется вокруг Земли). Но если же смотреть наоборот, с Луны на Землю (то есть следить за траекторией Земли в системе отсчета, связанной с центром Луны), то Земля будет оставаться практически неподвижной (на самом деле, она будет слегка смещаться со своего места, но незначительно). Как следствие данного явления, Луну можно разделить на две стороны: светлая (постоянно направленная на Землю) и темная (постоянно направленная от Земли). +#### Радиус кривизны траектории + +Любую кривую траекторию можно представить как чередование прямолинейного движения и движения по сегменту окружности, только в каждой точке эта окружность будет обладать разными радиусами. + +Конечно, в любой точке такой траектории этот радиус можно посчитать. Основная формула радиуса кривизны траектории $R = \frac{ds}{d \varphi}$. Но учитывая, что обе эти величины сильно малы, для расчетов такая формула не подойдет. Поэтому существуют другие способы. + +Предположим, известна зависимости координаты $y$ от координаты $x$. Тогда можно сказать, что $\tan \varphi = \frac{dy}{dx} = y'$. Далее +$$ +ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = dx \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = dx \sqrt{1 + (y')^2} +$$ +Изменение угла можно выразить через вторую производную, а значит получаем +$$ +y'' = \frac{d}{dx}(\tan \varphi) = \frac{1}{\cos^2 \varphi} \frac{d \varphi}{dx} = (1 + \tan^2 \varphi) \frac{d \varphi}{dx} +$$ +откуда можно выразить $d \varphi = \frac{y'' dx}{1 + (y')^2}$. Иными словами, получаем +$$ +R = \frac{\left(1 + (y')^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{y''} +$$ +Но а если такая зависимость неизвестна? Тогда можно найти радиус кривизны траектории, зная зависимость обеих координат от времени. Для этого нужно рассмотреть +$$ +k = \frac{1}{R} = \frac{d \varphi}{ds} = \frac{d \varphi}{ds} \cdot \frac{dt}{dt} = \frac{\frac{d \varphi}{dt}}{\frac{ds}{dt}} +$$ +Для знаменателя легко получить +$$ +\frac{ds}{dt} = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} +$$ +Зная, что $\tan \varphi = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}}$, а значит и $\varphi = \arctan \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right)$, можно также легко получить и числитель +$$ +\frac{d \varphi}{dt} = +\frac{d}{dt} \left( \arctan \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right) \right) = +\frac{1}{1 + \left( \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \right)^2} \cdot \left( \frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\dot{x}^2} \right) = +\frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} +$$ +Тогда легко можно получит как $k = \frac{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}}{\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}$, так и финальный ответ +$$ +R = \frac{\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{\ddot{y} \dot{x} - \dot{y} \ddot{x}} +$$ +### Скорость +#### Линейная путевая скорость + +>**Линейная путевая скорость** - скалярная величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени. + +Средняя скорость тела на определенном участке пути, пройденном за определенное время, считается по формуле $\langle v \rangle = \frac{dS}{dt}$. Мгновенную скорость (то есть скорость в определенный момент времени) можно найти по формуле $v = \lim\limits_{\delta t \to 0} \frac{\delta S}{\delta t}$. Если тело движется равномерно, то его средняя и мгновенная скорости равны. +#### Скорость как векторная величина + +Конечно, скорость можно изобразить и как векторную величину. Но только тогда это будет вектор скорости, а не сама скорость. Этот вектор можно найти по формуле $\vec{v} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt}$, где $\vec{r}$ - вектор движения тела с началом в точке начала движения и с концом в точке конца движения. То есть, формула вектора скорости очень сложа с формулой мгновенной скорости, с изменением лишь пройденного расстояния на вектор перемещения тела. + +Вектор скорости в трехмерном пространстве можно также, как и любой другой вектор, разложить на компоненты. Тогда получится $v_x = \frac{dx}{dt}$, $v_y = \frac{dy}{dt}$ и $v_z = \frac{dz}{dt}$. + +Помимо этого, скорость можно также рассматривать как $\vec{v} = | v | \cdot \vec{\tau}$ (то есть модуль скорости на ее орт, что есть $\hat{e}_v = \frac{\vec{v}}{|v|} = \vec{\tau}$). +#### Вращательное движение. Угловая скорость + +При движении по окружности, помимо обычной скорости, у тела появляется угловая скорость. + +>**Угловая скорость** - векторная величина, направленная вдоль оси вращения тела, которая показывает изменение угла тела относительно оси вращения за единицу времени. + +Из определения следует, что для нахождения мгновенной угловой скорости можно использовать формулу $\omega = \frac{d \varphi}{dt}$. Направление угловой скорости можно определить, использовав правило правой руки: если загнуть пальцы вдоль траектории движения тела, то большой палец покажет направление угловой скорости. + +Помимо этого, с помощью угловой скорости можно найти и мгновенную линейную скорость по формуле $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$, где $\vec{r}$ - радиус-вектор. При этом эта формула будет верна при любом расположении центра системы координат на оси вращения тела. + +### Ускорение + +>**Ускорение** - скалярная величина, характеризующая изменение скорости тела относительно времени. + +Как и у скорости, у ускорения может быть вектор. $\vec{a} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$. + +Также можно рассмотреть скорость как $\vec{v} = | v | \cdot \vec{\tau}$, тогда ускорение получается $\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d(v \vec{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt} \vec{\tau} + v \frac{d \vec{\tau}}{dt}$. Первое слагаемое в полученной сумме называют **тангенциальным ускорением** (то есть $\vec{a}_\tau = \frac{d |\vec{v}|}{dt} \cdot \vec{\tau}$ при $\vec{\tau} = const$). + +При равномерном движении по окружности у тела возникает вектор $\vec{n}$, направленный постоянно от тела к оси вращения и меняющий свое направление со временем и изменением угла, по модулю при этом оставаясь неизменным. + +Тогда рассмотрим второе слагаемое предыдущей суммы как $v \frac{d \vec{\tau}}{dt} = v \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{\tau}}{\Delta t} = v \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{n} \Delta \varphi}{\Delta t} = v \cdot \omega \vec{n} = \frac{v^2}{R} \vec{n}$. Такое ускорение $\vec{a}_n = \frac{v^2}{R} \cdot \vec{n}$ называется **нормальным** (или **центростремительным**). Иначе (без вектора) его можно записать как $a_n = \frac{v^2}{R} = v\omega = \omega^2 R$. +## Система отсчета + +>**Система отсчета** - совокупность тела отсчета (к которому привязана система координат), единой меры расстояния и времени. +### Система координат + +> **Система координат** - способ определения положения и перемещения тела в пространстве с помощью чисел. +#### Декартова система координат + +Самой распространенной системой отсчета является декартова система координат. Иногда ее также называют прямоугольной. Она может иметь любую размерность, но дальше будет рассматриваться только трехмерный случай. + +Состоит она из трех прямых - оси абсцисс (OX), оси ординат (OY) и оси аппликат (OZ). Прямоугольной она называется потому, что эти три прямые ортогональны (то есть имеют между собой угол 90$\degree$). + +Направление этих прямых определяется двумя способами: правилом правой руки или правило левой руки. В обоих случаях большой палец определяет направление абсциссы, а указательный - ординаты. Разница существует в направлении аппликаты - оно определяется средним пальцем. Приоритетнее строить систему координат по правилу правой руки, но в зависимости от задачи направление осей можно менять. + +В такой системе координат точка определяется тремя числами - значениями отклонения данной точки от центра оси координат в зависимости от осей и их направления. Иными словами. любую точку в пространстве можно представить в виде трех чисел - значений оси абсцисс, оси ординат и оси аппликат в этой точке. +#### Полярная СК + +Другой распространенной системой координат является двумерная полярная система координат. + +Она состоит из двух компонентов: радиуса до точки (расстояния, на котором находится точка от начала координат) и угла между прямой, на которой лежат точка и начало координат, и лучом, обозначающим нулевой угол. Чаще всего, угол в такой системе координат считается в радианах. + +>**Радиан** (рад/rad, от лат. radius - луч, радиус) - угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. + +На самом деле, такую систему координат очень легко превратить в двумерную декартову. Для этого достаточно представить представить ось абсцисс как $x = r \cos \varphi$ и ось ординат как $y = r \sin \varphi$. Таким образом, каждой паре радиуса и угла можно однозначно сопоставить пару абсциссы и ординаты. При таком представлении лучом с нулевым углом станет положительное направление оси абсцисс. +#### Цилиндрическая СК + +Одним из способов расширить полярную систему координат до трехмерного случая является цилиндрическая система координат. + +В случае такой системы координат два основных направления совпадают с полярной системой координат (то есть, угол и радиус). Третья ось добавляется перпендикулярно плоскости третьей плоскости и в точности соответствует оси аппликат из декартовой системы координат. + +Соответственно, при представлении этой системы координат в виде декартовой, две оси из полярной системы координат (угол и радиус) переводятся точно также, как и в этой системе. Последняя ось остается без изменения. +#### Сферическая СК + +Другим случаем расширения полярной системы координат до трехмерного случая является сферическая система координат. + +Принцип построения данной системы координат почти полностью совпадает с таковым у полярной системы координат. Соответственно, радиус и угол из полярной системы координат остается без изменения. В то же время строится луч, ортогональный двумерной полярной системе координат, и он становится нулевым лучом нового угла. Таким образом, в систему добавляется новый угол с другим начальным лучом, что позволяет любую точку пространства представить в виде трех компонентов: радиуса и двух углов. + +Эту систему тоже можно превратить в декартову систему координат. Только для этого придется использовать два угла, а не один. В таком случае получаем, что $x = r \sin \theta \cos \varphi$, $y = r \sin \theta \cos \varphi$, а $z = r \cos \theta$ (где $\theta$ - новый угол). +### Вектор + +>**Вектор** - величина, характеризующая перемещение из одной точки пространства в другую. +#### Представление вектора в проекциях на оси декартовой системы координат + +Любой вектор в декартовой системе координат представляет собой перемещение из одной точки, имеющей координаты, в другую. Но для удобной работы с вектором такого представления недостаточно. + +Поэтому вектор в декартовой системе координат можно представить как перемещение из начала координат в точку плоскости, аналогичное изначальному перемещению из точки в точку. Такое представление позволяет записывать вектор в виде трех значений осей (как раз по точке, в которую он приходит из начала координат), а также удобно складывать и умножать вектора. А зная изначальную точку, из которой выходит вектор, можно с помощью поэлементного сложения значений координат найти точку, в которую этот вектор придет, а значит такое представление не сильно отличается от более простого (описанного выше), но гораздо удобнее в плане вычислений. + +Иными словами, вектор можно представить как $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$. Тогда можно представить вектор и как $\vec{a} = a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z$, где $\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z$ - орты системы координат, то есть единичные вектора каждой координаты. +#### Скалярное произведение векторов + +>**Скалярное произведение** - покомпонентное произведение векторов. + +То есть, при таком произведении сначала перемножаются все компоненты используемых векторов, а после находится их сумма. Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z$. + +Если такое произведение равно нулю, то это значит, что рассматриваемые вектора ортогональны (или, если проще, перпендикулярны). Отсюда следует альтернативная формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))$. + +Можно расписать скалярное произведение поподробнее, с использованием орт. Тогда получим +$$ +\vec{a} \cdot \vec{b} = +(a_x \hat{e}_x + a_y \hat{e}_y + a_z \hat{e}_z) \cdot (b_x \hat{e}_x + b_y \hat{e}_y + b_z \hat{e}_z) = +a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 + a_x b_y \hat{e}_x \hat{e}_y + a_x b_z \hat{e}_x \hat{e}_z + a_y b_x \hat{e}_x \hat{e}_y + a_y b_z \hat{e}_y \hat{e}_z + a_z b_x \hat{e}_x \hat{e}_z + a_z b_y \hat{e}_y \hat{e}_z = +a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 + (a_x b_y + a_y b_x) \hat{e}_x \hat{e}_y + (a_x b_z + a_z b_x) \hat{e}_x \hat{e}_z + (a_y b_z + a_z b_y) \hat{e}_y \hat{e}_z +$$ +Так как произведение различных орт равно нулю (они ортогональны), то получается необходимое равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x \hat{e}_x^2 + a_y b_y \hat{e}_y^2 + a_z b_z \hat{e}_z^2 = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z$. +#### Модуль вектора + +>**Модуль вектора** - скалярная величина, характеризующая длину вектора. + +Модуль вектора можно найти по формуле $a = | \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$. Подробнее это можно расписать как $a = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}$, а дальше под корнем найти скалярное произведение векторов (можно даже с ортами, тогда получится $a = \sqrt{a_x^2 \hat{e}_x^2 + a_y^2 \hat{e}_y^2 + a_z^2 \hat{e}_z^2}$, что тоже самое). +#### Векторное произведение векторов + +>**Векторное произведение** - вектор, полученный произведением двух векторов и который по направлению им ортогонален, а по модулю равен площади параллелограмма, полученного из них. + +Векторное произведение векторов обозначается как $\vec{a} \times \vec{b}$ или $[\vec{a}, \vec{b}]$. Направление векторного произведения можно легко найти по правилу правой руки: если указательный палец направить по направлению первого вектора, а средний - по направлению второго, то большой палец покажет направление векторного произведения. + +Из определения следует, что векторное произведение можно найти по формуле $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin \alpha \cdot \hat{n}$, где $\alpha$ - угол между векторами, а $\hat{n}$ - вектор нормали к плоскости, в которой эти два вектора лежат. + +Также векторное произведение можно найти и другим способом, используя матрицу и ее определитель, по формуле $\vec{a} \times \vec{b} = \mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix} \right|} = \hat{i} \mathop{\left| \begin{matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{matrix} \right|} - \hat{j} \mathop{\left| \begin{matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{matrix} \right|} + \hat{k} \mathop{\left| \begin{matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix} \right|} = \hat{i} (a_y b_z - a_z b_y) - \hat{j} (a_x b_z - a_z b_x) + \hat{k} (a_x b_y - a_y b_x) = \hat{i} (a_y b_z - a_z b_y) + \hat{j} (a_z b_x - a_x b_z) + \hat{k} (a_x b_y - a_y b_x)$. +#### Двойное векторное произведение + +Также существует довольно простая формула для нахождения двойного векторного произведения трех векторов: $[\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b} (\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a}, \vec{b})$. Его легко запомнить как "бац минус цаб" + +Данную формулу можно достаточно легко доказать. Для начала, провернем систему координат так, чтобы вектор $\vec{c}$ в этой системе имел координаты $\{0, 0, c_z\}$, а после еще раз провернем так, чтобы вектор $\vec{b}$ в этой системе имел координаты $\{0, b_y, b_z\}$. Далее посчитаем произведение +$$ +[\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] = +\left[\vec{a}, \mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b_y & b_z \\ 0 & 0 & c_z \end{matrix} \right|}\right] = +\left[ \vec{a}, \hat{i} (b_y c_z) \right] = +\mathop{\left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_y c_z & 0 & 0 \end{matrix} \right|} = +\hat{j} (a_z b_y c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z) = +\hat{j} (a_z b_y c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z) + \hat{k} (a_z b_z c_z) - \hat{k} (a_z b_z c_z) = +\hat{j} (a_z b_y c_z) + \hat{k} (a_z b_z c_z) - \hat{k} (a_y b_y c_z + a_z b_z c_z) = +\vec{b} (a_z c_z) - \vec{c} (a_y b_y + a_z b_z) = +\vec{b} (\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a}, \vec{b}) +$$ +Таким образом, получаем нужное равенство. +#### Радиус-вектор + +>**Радиус-вектор** - вектор от центра координат до точки в пространстве. + +Иными словами, для точки с координатами $\{x, y, z\}$ радиус-вектор будет равен $\vec{r} = x \cdot \hat{e}_x + y \cdot \hat{e}_y + z \cdot \hat{e}_z$. Очевидно, тогда длина радиус-вектора будет равна $r = | \vec{r} | = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/Физика/Физика.md b/2 курс/Физика/Физика.md new file mode 100644 index 0000000..ad213b0 --- /dev/null +++ b/2 курс/Физика/Физика.md @@ -0,0 +1,3 @@ +## Лекции +- [Кинематика материальной точки](Кинематика%20материальной%20точки.md) +- (и тд) \ No newline at end of file