Слегка дополнена лекция 1 по теории вероятностей

2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md

@@ -58,11 +58,13 @@
 >**Измеримое пространство** - пара ($\Omega, \mathcal{F}$), состоящая из множества $\Omega$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$. 
 ## Вероятность
 
->**Мера** - числовая функция $\mu = \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям
+Далее будем использовать такие понятия, как [алгебра](#События), [событие](#События), [измеримое пространство](#Событие).
+
+>**Мера** - числовая функция $\mu : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям
 >	1) $\mu(\varnothing) = 0$
 >	2) $\mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)$, где $\{A_i\} \subset \mathcal{F} : \forall i,j \ (i \neq j) \ A_i \bigcap A_j = \varnothing$
 
->**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - мера $\text{P} : \mathcal{F} \to [0]$, удовлетворяющих условиям
+>**Вероятность** (на измеримом пространстве ($\Omega, \mathcal{F}$)) - мера $\text{P} : \mathcal{F} \to [0,1]$, удовлетворяющих условиям
 >	P1) $\text{P}(A) \geq 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}$
 >	P2) $\text{P}(\Omega) = 1$
 >	P3) $\text{P}(A+B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) \quad \forall A, B \in \mathcal{F}, \ AB = \varnothing$
@@ -99,6 +101,8 @@
 >***Теорема***. Система аксиом P1), P2), P3), P4) равносильна системе аксиом P1), P2), P3*).
 ## Дискретное вероятностное пространство
 
+Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
+
 >**Конечное вероятностное пространство** - вероятностное пространство, построенное следующим образом. Пусть $\Omega$ = $\{ \omega_1, \dots, \omega_n \}$ - конечное множество, $\mathcal{A}$ - алгебра всех подмножеств множества $\Omega$ (так как $\Omega$ конечно, то $\mathcal{A}$ - $\sigma$-алгебра), $p_i, i = 1, \dots, n$ - положительные числа, $\sum\limits_{i=1}^{n} p_i = 1$. Для события A положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{\omega_i \in A} p_i = 1$. Для невозможного события положим $\text{P}(\varnothing) = 0$. Нетрудно доказать, что данное вероятностное пространство удовлетворяет всем аксиомам.
 
 >**Классическое определение вероятности** - частный случай определения вероятности, при котором все $p_i$ равны между собой. Тогда в данном случае считается, что $p_i = \frac{1}{| \Omega |}$ и $\text{P}(A) = \frac{| A |}{| \Omega |}$.
@@ -108,6 +112,8 @@
 >**Дискретное вероятностное пространство** - обобщение конечного вероятностного пространства, построенное следующим образом. Пусть $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \dots \}$ - счетное множество, $\mathcal{F}$ - набор всех подмножеств $\Omega$, $p_n, n = 1, 2, \dots,$ - неотрицательные числа, такие что выполнено условие $\sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n = 1$.  $\forall A \in \mathcal{F}$ положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{n \in \{ n: \omega_n \in A \}}^{\infty} p_n$. Нетрудно доказать, что вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \text{P})$ удовлетворяет всем аксиомам.
 ## Геометрические вероятности
 
+Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
+
 >Определим вероятностное пространство, служащее моделью задач, в которых частица случайном образом бросается в какую-либо область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом (предполагается, что вероятность попасть частице в какую-либо область этого пространства пропорциональна n-мерному объему этой области). Пусть $\Omega$ - область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом, а событие - подмножество $\Omega$, для которых можно определить n-мерный объем, множество событий - $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}$ борелевских подмножеств $\Omega$. Положим вероятность события A $\text{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, где $|A|, |\Omega|$ - n-мерный объем соответствующего множества. Нетрудно понять, что вероятностное пространство ($\Omega, \mathcal{B}, \text{P}$) удовлетворяет всем аксиомам.
 
 >**Абсолютно непрерывное вероятностное пространство** - обобщение вероятностного пространства, построенного выше. Пусть $\Omega = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \}$ - n-мерное вещественное евклидово пространство, $\pi(x_1, x_2, \dots, x_n)$ - неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любой квадрируемой области из $\Omega$. Будем предполагать, что существует несобственный интеграл по $\Omega$ от функции $\pi(x_1, x_2, \dots, x_n)$ и $\int\limits_{\Omega} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n = 1$. Обозначим через $\mathcal{F}$ алгебру, порожденную квадрируемыми областями в $\Omega$. Положим $\forall A \in \mathcal{F} \quad \text{P}(A) = \int\limits_{A} \pi(x_1, x_2, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n$. Нетрудно понять, что вероятностное пространство ($\Omega, \mathcal{F}, \text{P}$) удовлетворяет всем аксиомам.