Изменены ссылки на заголовки внутри файлов

2 курс/Теория вероятностей/Вероятностное пространство.md

@@ -1,9 +1,9 @@
 ## Содержание
-- [Случайные события. Статическая вероятность](#Случайные%20события.%20Статическая%20вероятность)
-- [События](#События)
-- [Вероятность](#Вероятность)
-- [Дискретное вероятностное пространство](#Дискретное%20вероятностное%20пространство)
-- [Геометрические вероятности](#Геометрические%20вероятности)
+- [[#Случайные события. Статическая вероятность]]
+- [[#События]]
+- [[#Вероятность]]
+- [[#Дискретное вероятностное пространство]]
+- [[#Геометрические вероятности]]
 
 ## Случайные события. Статическая вероятность
 
@@ -58,7 +58,7 @@
 >**Измеримое пространство** - пара ($\Omega, \mathcal{F}$), состоящая из множества $\Omega$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}$ подмножеств $\Omega$. 
 ## Вероятность
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [алгебра](#События), [событие](#События), [измеримое пространство](#События).
+Далее будем использовать такие понятия, как [[#События|алгебра]], [[#События|событие]], [[#События|измеримое пространство]].
 
 >**Мера** - числовая функция $\mu : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, заданная на $\sigma$-алгебре событий $\mathcal{F}$, удовлетворяющая условиям
 >	1) $\mu(\varnothing) = 0$
@@ -101,7 +101,7 @@
 >***Теорема***. Система аксиом P1), P2), P3), P4) равносильна системе аксиом P1), P2), P3*).
 ## Дискретное вероятностное пространство
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
+Далее будем использовать такие понятия, как [[#Вероятность|вероятностное пространство]].
 
 >**Конечное вероятностное пространство** - вероятностное пространство, построенное следующим образом. Пусть $\Omega$ = $\{ \omega_1, \dots, \omega_n \}$ - конечное множество, $\mathcal{A}$ - алгебра всех подмножеств множества $\Omega$ (так как $\Omega$ конечно, то $\mathcal{A}$ - $\sigma$-алгебра), $p_i, i = 1, \dots, n$ - положительные числа, $\sum\limits_{i=1}^{n} p_i = 1$. Для события A положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{\omega_i \in A} p_i = 1$. Для невозможного события положим $\text{P}(\varnothing) = 0$. Нетрудно доказать, что данное вероятностное пространство удовлетворяет всем аксиомам.
 
@@ -112,7 +112,7 @@
 >**Дискретное вероятностное пространство** - обобщение конечного вероятностного пространства, построенное следующим образом. Пусть $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \dots \}$ - счетное множество, $\mathcal{F}$ - набор всех подмножеств $\Omega$, $p_n, n = 1, 2, \dots,$ - неотрицательные числа, такие что выполнено условие $\sum\limits_{n=1}^{\infty} p_n = 1$.  $\forall A \in \mathcal{F}$ положим $\text{P}(A) = \sum\limits_{n \in \{ n: \omega_n \in A \}}^{\infty} p_n$. Нетрудно доказать, что вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \text{P})$ удовлетворяет всем аксиомам.
 ## Геометрические вероятности
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [вероятностное пространство](#Вероятность).
+Далее будем использовать такие понятия, как [[#Вероятность|вероятностное пространство]].
 
 >Определим вероятностное пространство, служащее моделью задач, в которых частица случайном образом бросается в какую-либо область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом (предполагается, что вероятность попасть частице в какую-либо область этого пространства пропорциональна n-мерному объему этой области). Пусть $\Omega$ - область евклидова n-мерного пространства с конечным n-мерным объемом, а событие - подмножество $\Omega$, для которых можно определить n-мерный объем, множество событий - $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}$ борелевских подмножеств $\Omega$. Положим вероятность события A $\text{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, где $|A|, |\Omega|$ - n-мерный объем соответствующего множества. Нетрудно понять, что вероятностное пространство ($\Omega, \mathcal{B}, \text{P}$) удовлетворяет всем аксиомам.
 

2 курс/Теория вероятностей/Условные вероятности. Независимость.md

@@ -1,8 +1,8 @@
 ## Содержание
-- [Условные вероятности](#Условные%20вероятности)
-- [Формула полной вероятности](#Формула%20полной%20вероятности)
-- [Формула Байеса](#Формула%20Байеса)
-- [Независимость событий](#Независимость%20событий)
+- [[#Условные вероятности]]
+- [[#Формула полной вероятности]]
+- [[#Формула Байеса]]
+- [[#Независимость событий]]
 ## Условные вероятности
 
 Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$).
@@ -16,7 +16,7 @@
 >*Доказательство*. Из условия теоремы следует существование всех условных вероятностей в требуемом уравнении. Индукция по $n$. При $n = 2$ требуемое равенство вытекает из определения теоремы умножения. Пусть требуемое равенство справедливо для $n = k$. Докажем его при $n = k + 1$. Подставляя в определение теоремы умножения $B = A_1 \dots A_k$ и $A = A_{k+1}$, получим $P(A_1 \dots A_k A_{k+1}) = P(A_1 \dots A_k) P(A_{k+1}|A_1 \dots A_k)$. Из этого равенства и индукционного предположения следует требуемое равенство при $n = k+1$. $\blacksquare$
 ## Формула полной вероятности
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [пространство элементарных событий](Вероятностное%20пространство.md#События) ($\Omega$), [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности), [теорема умножения](#Условные%20вероятности).
+Далее будем использовать такие понятия, как [пространство элементарных событий](Вероятностное%20пространство.md#События) ($\Omega$), [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [[#Условные вероятности|условная вероятность]], [[#Условные вероятности|теорема умножения]].
 
 >**Конечное разбиение** (пространства $\Omega$) - система событий $B_1, B_2, \dots, B_n$ таких, что они попарно несовместимы и $B_1 + B_2 + \dots + B_n = \Omega$.
 
@@ -25,14 +25,14 @@
 >*Доказательство*. Из определения конечного разбиения следует разложения $A$ на сумму $A = A \Omega = AB_1 + AB_2 + \dots + AB_n$. События $AB_1, AB_2, \dots, AB_n$ попарно независимы. Из конечной аддитивности $P$ и теоремы умножения получаем $P(A) = \sum\limits_{k=1}^{n} P(AB_k) = \sum\limits_{k=1}^{n} P(B_k) P(A|B_k)$. $\blacksquare$
 ## Формула Байеса
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [конечное разбиение](#Формула%20полной%20вероятности), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности), [теорема умножения](#Условные%20вероятности), [формула полной вероятности](#Формула%20полной%20вероятности).
+Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [[#Формула полной вероятности|конечное разбиение]], [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [[#Условные вероятности|условная вероятность]], [[#Условные вероятности|теорема умножения]], [[#Формула полной вероятности|формула полной вероятности]].
 
 >***Теорема***. Пусть события $B_1, \dots, B_n$ образуют конечное разбиение $\Omega$ и все $P(B_k) > 0$. Тогда для любого события $A, P(A) > 0$, справедливы формулы $P(B_k|A) = \frac{P(B_k) P(A|B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(B_i) P(A|B_i)}, k = 1, \dots , n$, называемые формулами Байеса.
 >
 >*Доказательство*. По теореме умножения $P(AB_k) = P(B_k) P(A|B_k) = P(A) P(B_k|A)$. Следовательно $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$. Применяя к знаменателю $P(A)$ формулу полной вероятности, получаем требуемое равенство. $\blacksquare$
 ## Независимость событий
 
-Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности).
+Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [[#Условные вероятности|условная вероятность]].
 
 >**Независимые события** ($A, B$) - события, для которых верно $P(AB) = P(A)P(B)$.