Добавлена лекция 2 по теории вероятностей

2026-09-19 01:42:56 +03:00
parent 03840f5e8e
commit 158d62042c
3 changed files with 56 additions and 2 deletions
@@ -0,0 +1,53 @@
+## Содержание
+- [Условные вероятности](#Условные%20вероятности)
+- [Формула полной вероятности](#Формула%20полной%20вероятности)
+- [Формула Байеса](#Формула%20Байеса)
+- [Независимость событий](#Независимость%20событий)
+## Условные вероятности
+
+Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$).
+
+>**Условной вероятностью** $P(A|B)$ события $A$ при условии, что произошло событие $B$, называется величина $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ (где $A, B$ - некоторые события, причем $P(B) > 0$). Для условной вероятности также применяется обозначение $P_B(A)$.
+
+>**Теоремой умножения** называется равенство $P(AB) = P(B)P(A|B)$, которое следует из определения условной вероятности.
+
+>***Теорема***. (Теорема умножения). Пусть события $A_1, \dots, A_n$ таковы, что $P(A_1, \dots, A_{n-1}) > 0$. Тогда $P(A_1 \dots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) \dots P(A_n|A_1 \dots A_{n-1})$.
+>
+>*Доказательство*. Из условия теоремы следует существование всех условных вероятностей в требуемом уравнении. Индукция по $n$. При $n = 2$ требуемое равенство вытекает из определения теоремы умножения. Пусть требуемое равенство справедливо для $n = k$. Докажем его при $n = k + 1$. Подставляя в определение теоремы умножения $B = A_1 \dots A_k$ и $A = A_{k+1}$, получим $P(A_1 \dots A_k A_{k+1}) = P(A_1 \dots A_k) P(A_{k+1}|A_1 \dots A_k)$. Из этого равенства и индукционного предположения следует требуемое равенство при $n = k+1$. $\blacksquare$
+## Формула полной вероятности
+
+Далее будем использовать такие понятия, как [пространство элементарных событий](Вероятностное%20пространство.md#События) ($\Omega$), [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности), [теорема умножения](#Условные%20вероятности).
+
+>**Конечное разбиение** (пространства $\Omega$) - система событий $B_1, B_2, \dots, B_n$ таких, что они попарно несовместимы и $B_1 + B_2 + \dots + B_n = \Omega$.
+
+>***Теорема***. (Формула полной вероятности). Пусть события $B_1, \dots, B_n$ образуют конечное разбиение $\Omega$ и все $P(B_k) > 0$. Тогда для любого события $A$ справедлива формула $P(A) = \sum\limits_{k=1}^{n} P(B_k) P(A|B_k)$, называемая формулой полной вероятности.
+>
+>*Доказательство*. Из определения конечного разбиения следует разложения $A$ на сумму $A = A \Omega = AB_1 + AB_2 + \dots + AB_n$. События $AB_1, AB_2, \dots, AB_n$ попарно независимы. Из конечной аддитивности $P$ и теоремы умножения получаем $P(A) = \sum\limits_{k=1}^{n} P(AB_k) = \sum\limits_{k=1}^{n} P(B_k) P(A|B_k)$. $\blacksquare$
+## Формула Байеса
+
+Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [конечное разбиение](#Формула%20полной%20вероятности), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности), [теорема умножения](#Условные%20вероятности), [формула полной вероятности](#Формула%20полной%20вероятности).
+
+>***Теорема***. Пусть события $B_1, \dots, B_n$ образуют конечное разбиение $\Omega$ и все $P(B_k) > 0$. Тогда для любого события $A, P(A) > 0$, справедливы формулы $P(B_k|A) = \frac{P(B_k) P(A|B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(B_i) P(A|B_i)}, k = 1, \dots , n$, называемые формулами Байеса.
+>
+>*Доказательство*. По теореме умножения $P(B_k|A) = P(B_k) P(A|B_k) = P(A) P(B_k|A)$. Следовательно $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$. Применяя к знаменателю $P(A)$ формулу полной вероятности, получаем требуемое равенство. $\blacksquare$
+## Независимость событий
+
+Далее будем использовать такие понятия, как [событие](Вероятностное%20пространство.md#События), [вероятность](Вероятностное%20пространство.md#Вероятность) ($P$), [условная вероятность](#Условные%20вероятности).
+
+>**Независимые события** ($A, B$) - события, для которых верно $P(AB) = P(A)P(B)$. 
+
+>**Зависимые события** ($A, B$) - события, которые не независимые.
+
+Пусть $A, B$ - независимые события.
+1. $P(B) > 0, \ P(AB) = P(A)P(B), \ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \implies P(A|B) = P(A)$. 
+2. $P(\overline{A}B) = P(B - AB) = P(B)(1-P(A)) = P(\overline{A}) P(B) \implies \overline{A}, B$ - независимые события.
+3. $B_1B_2 = \varnothing, \ P(A(B_1 + B_2)) = P(AB_1 + AB_2) = P(AB_1) + P(AB_2) = P(A)(P(B_1) + P(B_2)) = P(A)P(B_1 + B_2) \implies A, B_1 + B_2$ - независимые события.
+
+Таким образом, получаем 3 свойства независимых событий.
+1. $P(A|B) = P(A)$
+2. $\overline{A}, B$ - независимы
+3. $A, B_1 + B_2$ - независимы
+
+Можно обобщить определение независимости для нескольких событий.
+
+>**Независимые события** ($A_1, A_2, \dots, A_n$) - события, для которых верно $\forall \ 1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_m \leq n, \ 2 \leq m \leq n, \ P(A_{i_1} A_{i_2} \dots A_{i_m}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \dots P(A_{i_m})$. В противном случае события зависимы. Независимость нескольких событий называется иногда независимостью событий в совокупности.